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fracta分形在法文和英文中既是名词，又是形容词。中文中的分形除了这两种功能外，还可以作动词使用，表现一类生成过程的复杂性。从系统生成的观点看，分形的基本生成方式之一是通过分枝化而由一到多、由简单到复杂逐步进行的。数学分形最为典型，从极简单的源图一条线段、一个三角形或其他规整图形出发，按照简单的规则对源图作分割、挖空、替代等简单变换，不断重复操作，就会生成极其复杂而漂亮的分形图案。这种含义，西语的fracta一词不具备，汉语的分形却具有。究根寻源，中国传统文化中很早就包含丰富深刻的分形观念。老子的“道生一，一生二，二生三，三生万物”是其最早的文字表述。曹植有“分形同气”之说求自试表，但未展开。宋代理学家邵雍提出“理一分殊”的著名命题，经朱熹阐释而得到传扬，产生很大影响。按照明代罗钦顺的诠释：“盖一物之生，受气之初，其理惟一；成形之后，其分则殊。其分之殊，莫非自然之理，其理之一，常在分殊之中，此所以为性命之妙也。”168佛教哲学也包含丰富的分形生成思想，千手观音，特别是化身五五图，就是这种思想的物化表现。慧命经有一首解释化身图的诗：

分念成形窥色相，共灵显迹化虚无。

出有入无成妙道，分形露体共真源。

今天的计算机绘图从某些预先设计的简单规则一种观念形态出发。通过反复迭代计算，生成各种复杂、美妙、巧夺天工的分形图象，在某种程度上为古老的“分念成形”说提供了现代科学的机理说明。

这种哲理思想在中国古典诗词中多有反映。五代高僧契比的诗偈有句云：“虽然是一躯，分身百千亿。”。更有趣的是陆游的一首咏梅绝句：

闻道梅花坼晓凤，雪堆遍满四山中。

何方可化身千亿，一树梅前一放翁。

漫山遍野的雪堆中，梅花迎着晓风绽开，这已经是一幅壮丽的分形画面。或许是联想到贺知章的咏柳诗把碧玉般的柳条看成由剪刀似的二月春风裁出，酷爱梅花高洁品格的陆游认为，分布于四面穷山中的无数梅花是由晓凤和雪堆催促而开花的。怎样才能亲近每一株梅花呢依据“分念成形”的思想，陆游想象自己的身躯经过逐步分化，由一而二，由少而多，直至千亿，最终实现了“一树梅前一放翁”的心愿。

六、结束语

关于本文主题的总体评价，可以归结为两点：一方面，中国古典诗词中有关分形的描绘极其丰富，本文提及的只是其中的一小部分；另一方面，几千年来，主要是科学发展水平的低下，诗人缺乏几何学知识的必要启迪和借鉴，即使群星灿烂的唐宋，用诗词描绘分形也还是很不够的，分形提供的大量美学意韵尚未得到相应的诗性表达。如关于山峰、漩涡、湍流的复杂、精致、动态的分形结构，至今尚未创造出很有表现力的词语、意象，只得借助汉语的独特个性曲折、隐晦地表达。由此可以引出以下两点建议：

第一，现代诗人应当学点分形几何和浑沌理论，学点非线性科学，思考如何艺术地描绘大自然的分形、浑沌以及其它奇妙的非线性现象，创造出唐诗宋词中没有也不可能有的崭新意象，这可能是中国诗歌重新走向辉煌的路径之一。有人提出“古诗是现代诗的救星”的观点17，我以为基本思想是可取的。

第二，文艺理论，包括文论、诗论、画论等等，应当借鉴系统科学、非线性科学、复杂性研究的成果，研究系统美、分形美、浑沌美、动态美、模糊美、非线性美、复杂性美如何激发诗人的灵感，诗人如何借浑沌、分形等意象抒发感情，表达志向，建立上承中华传统文化之积淀、下接现代科学之前沿的新话语体系，真正治愈所谓失语症。

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混沌与分形的哲学启示

长久以来，我们就知道我们生活在一个非常复杂的世界里，从破碎的浪花到喧闹的生活，从千姿百态的云彩到变幻莫测的市场行情，凡此种种，都是客观世界特别丰富的现象。但是，科学对复杂性的认识极为缓慢。混沌学的问世，代表着探索复杂性的一场革命。由于它，人们在那些令人望而生畏的复杂现象中，发现了许多出乎意料的规律性。分形理论则提供了一种发现秩序和结构的新方法。事物在空间和时间中的汇集方式，无不暗示着某种规律性，并都可以用数学来表述它们的特征。泥沈和分形不仅标志着人类历史上又一次重大的科学进步，而且正在大大地改变人们观察和认识客观世界的思维方式。因此，探讨混沌学和分形理论的哲学启示是非常有意义的。

决定与非决定

决定论与非决定论，或者说必然性与偶然性的关系问题是科学和哲学长期争论不休的难题。决定论的思想自牛顿以来就根深蒂固。牛顿经典力学的建立，一方面推倒了天与地之间的壁垒，实现了自然科学的第一次大综合；另一方面它也建立了机械决定论的一统天下。拉普拉斯设计了一个全能智者，它能够格宇宙最庞大的物体的运动以及最微小的原子的运动都归并为一个单一的因式。其结果，自然成了一个僵死的、被动的世界，一切都按部就班，任何“自然发生”或“自动发展”都不见了。热力学通过涨落的发生而引入了一种新的决定论，即统计决定论。涨落是对系统平均值的偏离，它总是无法完全排除的。应该说，从决定性的牛顿力学发展到非决定性的统计力学，是一次重要的科学进步。特别是量子力学的创立和发展，一种新的统计规律为人们所认识，薛定谔波函数的统计解释，抛弃了传统的轨道概念，清楚地反映了微观粒子运动规律的统计性质。但是在混沌理论问世之前，物理学中确定论和概率论两套基本描述形成了各自为政的局面：单个事件服从决定性的牛顿定律x大量事件则服从统计性的大数定律。当波耳兹曼企图跨越这道鸭沟，从动力学“推导”出热力学过程的不可逆性时，受到来自泽梅罗、洛斯密脱等人的强烈反对：决定性助牛顿定律怎么会导出非决定性的分子运动论玻马兹曼全力以赴地答辩以捍卫自己的理论，：但是按照当时公众可接受的标淮主要是机械论，他失败了。这表明，确定论和概率论、必然性和偶然性的对立是。难以克服的；

一、量子力学也不例外。爱因斯坦是量子论的创始人之一。对于物质的统计理论，特别是对涨落的理论，谁也没有爱因斯坦的贡献大，但他却坚决不相信有掷被子的上帝。爱国斯坦与以玻尔为代表的哥本哈根学派进行了一场长达40年之久的大论战。前者把统计的必要性归结于自由度和方程数目太多，不可能完全列举初始条件，模型中不能计入一切次要因素等外在的和技术上的原因；后者则强调统计规律性是复杂系统所特有的，决不能把它还原为力学规律。测不准关系指出，粒子的位置和速度的测量精度存在着一个限制。这说明偶然性的存在是事物本身所使然，决不是因为我们无知的结果。

混沌的奇特之处在于，它把表现的无序和内在的决定论机制巧妙地融为一体。所以钱学森指出，决定性和非决定性的矛盾直到本世纪6d年代后兴起的混沌理论才得到解决1。1963年洛仑兹首先发现，只有区区三个因素的简单决定性系统也会产生随机性行为，这种随机性不是起因于任何外界因素，而是从决定性系统内部产生的。“混沌”就是这种内在的随机性的代名词。

“决定性的混沌”说明决定性和随机性之间存在着由此及彼的桥梁，这大大丰富了我们对偶然性和必然性这对基本范畴伪认识。

首先，混沌现象又一次揭示，偶然性并非只是表面上的。在经典统计力学的描述中，由于没有“蝴蝶效应”，大数系统的涨落一般对系统的宏观面貌石起多大作用。而现在我们发现，由于拉伸和折迭的反复进行，混沌吸引子起着一种“泵”的作用，把微小的涨落迅速地提高到宏观尺度上表现出来。这种误差按指数特性增长的现象是使拉普拉斯决定论不能成立的又一原因。于是，混沌意味着我们的预测能力受到了某种新的根本限制。

其次，既然混沌是