第494章 留下属于自己的足迹（2 / 2）

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那个地方如果换一套更精细的积分核，把边界处的调和分析做得更细致一些，可以把下界估计再往上提半个数量级。

这个念头搁在肖宿脑子里已经有好一阵子了，一直没找到整块的时间来推演，现在正好可以整理出来。

他把蒂奇马什那本书从书架上抽出来翻到相关章节，又在坐标纸上铺开了新的推导。

肖宿这次找的切入点是泽塔函数在临界线上的零点密度估计。

从哈代-李特尔伍德到塞尔伯格，每代数学家都在这一块留下过自已的标记，现在，肖宿也打算从塞尔伯格迹公式出发，不同的是，这次他换了一个处理方式。

塞尔伯格迹公式的核心是把黎曼泽塔函数的零点分布和某个自伴算子的特征值联系起来，本质上是一个谱问题，但是塞尔伯格当初构造那个自伴算子时，由于非交换几何的工具还没有成熟，他的构造在某些地方依赖于一些比较生硬的人工截断。

如果把这些人工截断换成孔涅的非交换几何框架中的自然边界条件，那么整个谱问题的处理就会变得光滑很多。

沿着这个思路，肖宿不断往下推进，研究的前两天进展还算顺利。

塞尔伯格迹公式在非交换几何的重新表述下，零点密度的下界估计果然比蒂奇马什的经典结果漂亮了不少。

不过推到临界线上零点间距的精细分布时，肖宿不得不停了下来。

塞尔伯格的方法在这里遇到了一个天然的瓶颈：迹公式给出的是零点分布的全局平均，而要想精确刻画零点间距的局部分布，需要知道每个零点的精确位置。

全局平均由塞尔伯格迹公式给出，局部涨落则由蒙哥马利对关联函数描述。

这两个量在现有的数学框架下是分离的，它们各自都有完备的理论，但是没有任何人找到过一条能把它们同时纳入同一个数学框架的路径。

肖宿尝试了好几种方法将他们融合在一起。

第一种是把蒙哥马利对关联函数直接嵌入塞尔伯格迹公式的谱测度构造中，用扰动展开把局部涨落当作迹公式的高阶修正项加进去。

不过这个思路推到第三天就卡住了，扰动展开在零点间距极小时发散，蒙哥马利对关联函数在短距离上的排斥效应太强了，任何有限阶的扰动展开都无法收敛。